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a hoch b

The Art of Calculating Vectors




a-hoch-b, a und b reell und nicht beide zugleich =0


Wie man a-hoch-b ausrechnet, wenn a >= 0, ist bekannt,

so kann man b* ln a ausrechnen und e damit potenzieren.

Dies geht geometrisch mit einem Logarithmenstab und rechnerisch mit

verschiedenen Formeln, die auch in Taschenrechnern und Computern

vorhanden sind. Man erhält eine relle Zahl.

Ist a negativ, so gilt wohl

a-hoch-b = -1-hoch-b * Betrag-a-hoch-b

Und allgemein a-hoch-b = sgn-a-hoch-b* Betrag-a-hoch-b

Nun ist (-1) der Reihe nach mit 0 , 1 , 2 , 3 potenziert gleich

1, - 1, 1, - 1.

Dies könnte ein dauerndes Umklappen, ein Spiegeln an der y-Achse sein,

aber da man dies wohl nicht weiter unterteilen kann, fasse ich es als ein

Drehen um 180 Grad auf. Das ist stimmig mit minus-1-hoch-einhalb als

90 Grad Drehung ,also minus-1-hoch-einhalb = (0,1) und mit minus-1-hoch-dreihalb = (0,minus1) .

Ich ersetze jetzt b durch 2*c=b für c als circulation (sprich Umdrehung)

und erhalte

-1-hoch-b = minus-1-hoch-2c = cos-2pi-c.

Also ist a-hoch-b bei negativem a ein 2D-Vektor, dessen zweite Komponente

häufigst von Null verschieden ist.Man kann es als allgemeines Vorzeichen

der Ebene sehen, als Richtung der Länge 1.

Und wer lieber mit Winkeln @ umgeht, statt mit Umdrehungen c, der ersetzt

mit Hilfe von @=c*2*pi.

Einen Beweis für die Richtigkeit kann ich finden, indem ich eine

geschlossene Formel aufstelle, die ein Computer versteht.Nun, aus dem

Vorzeichen von a bilde ich:

# = (1 - sgn a)/2 also #=1 bei a negativ und #=0 bei positiven a

und damit erhalte ich a-hoch-b = Betrag-a-hoch-b mal cos-#-pi-b.

Zu beachten ist noch, daß eine Umdrehung nie an sich existiert, sondern

entweder links- oder rechtsdrehend orientiert ist. Dem entspricht analytisch,

daß es stes zwei verschiedene R2 - Vektorräume gibt, die aber isomorph sind,

damit ist hier gemeint, daß sie strukturgleich sind. Denn zu jeden Vektor a

gibt es einen negativen Vektor b und zu u ein v, und v ist damit auch

negativ zu u. Mit a und u als Basis ergibt sich ein Vektorraum, der zu

dem von a und v aufgespannten gegensätzlich ist.

Und noch etwas sollte man beachten.Ein Winkel von 6o Grad verdoppelt,

wird 120 Grad, versiebenfacht wird er aber bloß wieder 60 Grad. Ein Winkel

kann einen Richtungsunterschied ausdrücken (statisch, in Ruhe) oder eine

Drehung, eine Bewegung.

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Beim Durchgang durch die Null-Grad-Linie, die relle Zahlengerade geht

Information verloren, ähnlich wie ein Strahl auf einem Radarbildschirm

Informationen auswischt. Bleibt man im oberen Stockwerk am Rechnen, ist

es kein Problem. Steigt man aber zur Basis herunter, also rechnet man

eine Potenz aus, dann verschwinden die vollen Umdrehungen.